Published onNovember 11, 2023

sensing mid term review

距離を時間で計測: GPS(Global Positioning System)

最低４つの時刻同期された衛星からの時刻通知の差を検知すると３次元位置とその場所の現在時刻がわかる

（現在地に同期された正確な時計があれば衛星は３つでよいが、普通は無理）

差動法と零位法: センサ出力を正確に同定したい

誤差の評価

何桁目までが意味のある数値か？⇒有効数字

通常、実験誤差は有効数字1桁に丸めること。ただし、1桁目が１のときは2桁にせよ。

測定値が非常に大きいあるいは小さい場合、指数表現をする例：電荷の測定値

x 測定値 = x_{best} \pm \delta x

相対誤差 = \frac{\delta x}{|x_{best}|}

相对误差用百分比来表示： $50cm \pm 2 \%$

有効数字の桁数と相対誤差には関係がある。

積の相対誤差はもとの相対誤差の和になる！

m = 0.53 ± 0.01kg, v = 9.1 ± 0.3m/sのとき、p=mvの最良推定量、絶対誤差、相対誤差は？

有効数字の桁数が異なる２数の積の有効数字: 有効数字の少ないほうの桁数となる

q_{best} = \frac{x_{best}}{y_{best}}

\frac{\delta q}{|q_{best}|} = \frac{\delta x}{|x_{best}|} + \frac{\delta y}{|y_{best}|}

q = x^n 相対誤差は： \frac{\delta q}{|q|} = n \times \frac{\delta x}{|x|}

定数倍なとき、相対誤差は同じ

不确定度的有效数字：当我们计算出一个物理量的不确定度时，这个不确定度通常被四舍五入到一位有效数字。在这个例子中，4.84.8 四舍五入后变成了 55。
与不确定度相匹配的主值：主值（在这里是 36.136.1）通常被四舍五入到与不确定度相同的小数位数。因为不确定度是 ±5±5（没有小数点后的数字），主值也被四舍五入到整数，即 3636。
实用性和可读性：在实验物理中，过于详细的精度通常没有实际意义。如果不确定度相对较大（例如，在这个例子中接近 10%10%），则没有必要保留主值的较小数字。

任意单变量函数的误差传播

\delta q = |\frac{dq}{dx}|_{x = x_{best}} \delta x

べき乗関数の相対誤差はもとの相対誤差の|n|倍．ただし、nは実数でよい

q=1/xの相対誤差はxの相対誤差と同じである．

指数関数の相対誤差はもとの変数の絶対誤差

$q = x + z\sin y$

$\delta x, \delta y, \delta z$ が独立ならば,

\delta(\sin y) = \delta y |\cos y|

\frac{\delta(z\sin y)}{|z\sin y|} = \frac{\delta z}{|z|} + \frac{\delta(\sin y)}{|\sin y|} = \frac{\delta z}{|z|} + \frac{\delta y |\cos y|}{|\sin y|}

\delta(x + z\sin y) = \delta x + \delta(z\sin y)

= \delta x + \left( \frac{\delta z}{|z|} + \frac{\delta y |\cos y|}{|\sin y|} \right) |z\sin y|

独立误差: 如果都是独立的正态分布，则和的误差会变成绝对误差平方和的平方根。

如果两个误差之间有关联（称为相关）的话: 在这种情况下，如果 xx 被测量过大，那么 yy 也会被测量过大；如果 xx 被测量过小，yy 也会被测量过小。在这种情况下，和的误差不是平方和，而是绝对误差的和。

和の誤差の推定はそれぞれの誤差推定の二乗和で与えられる

\delta q = \sqrt{\delta X^2 + \ldots + \delta Z^2 - (\delta U + \ldots + \delta W)^2}

q = \frac{X \times \ldots \times Z}{U \times \ldots \times W}

の相対誤差推定はそれぞれの相対誤差推定の和

\frac{\delta q}{|q|} = \sqrt{\left(\frac{\delta X}{|X|}\right)^2 + \ldots + \left(\frac{\delta Z}{|Z|}\right)^2 + \left(\frac{\delta U}{|U|}\right)^2 + \ldots + \left(\frac{\delta W}{|W|}\right)^2}

q=x2y-xy2の値を求めるため、xとyを計測したところ、x= 3.0±0.1 y= 2.0±0.1

qbest = 3.0^2×2.0-3.0×2.0^2 = 6.0

∂q/∂x= 2xy-y2 = 8.0, ∂q/∂y= x2-2xy = -3.0

δq = √(8.0×0.1)2+(3.0×0.1)2 = 0.85.. = 0.9

よって q = 6.0±0.9

随机误差可以用统计方法处理

当误差呈正态分布时，平均值具有重要意义

分散： $S = \frac{1}{N} \sum (x_i - \bar{x})^2$

标准偏差： $\sigma = \sqrt{S} = \sqrt{\frac{1}{N} \sum (x_i - \bar{x})^2}$

平均

\bar{x} = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx

方差

\sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x - \bar{x})^2 f(x)dx

展开后的方差表达式

\sigma^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (x^2 - 2x\bar{x} + \bar{x}^2) f(x)dx

= \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)dx - \bar{x}^2

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{(x - \bar{x})^2}{2\sigma^2} \right)

正規分布を仮定すると、測定値の平均値は真の値の最良推定値となる

同一のものに対する複数の計測値が正規分布に従う場合、標本平均値 $\frac{\sum x_i}{N}$ はもっとも確からしい真の値の推定値を与える（最尤推定値）。

当针对同一对象的多个测量值遵循正态分布时，测量误差的方差的最佳估计值是

s^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i} (x_i - \bar{x})^2